Pendekatan Pembelajaran Matematika


HAKEKAT MANUSIA

A. Pengertian Matematika
Berbagai pengertian tentang matematika yang saling berbeda pendapat dimana pengertian tersebut tergantung sudut pandang yang dijunjung atau diadobsi. Dalam Bahasa Inggris ”mathematics”, Jerman ”mathematik”, Perancis ”mathematique”, Itali ”matematica”, Rusia ”matematiceski”, Belanda “mathematick/wiskunde” semua istilah tersebut berasal dari bahasa latin “mathematica” yang mulanya dari bahasa yunani “mathematike” yang dapat diartikan “mathema” yaitu pengetahuan atau ilmu (knowledge/science). Semuanya saling berhubungan yaitu ”mathanein” yang berarti belajar atau berpikir. Jadi pengertian matematika secara etimologis (Ela Tingggih,1972:5) yaitu ilmu pengetahuan yang diperoleh dengan bernalar. Bernalar yang dimaksudkan yakni dalam matematika lebih menekankan aktivitas dalam dunia rasio (penalaran). Menurut Ruseffendi ET (1980 : 148) matematika terbentuk sebagai hasil pemikiran manusia yang berhubungan dengan ide, proses, dan penalaran.
Secara berurutan matematika terbentuk dari pengalaman manusia dalam dunianya secara empiris, karena matematika sebagai aktivitas manusia kemudian pengalaman itu diproses dalam dunia rasio, diolah secara analisis dan sintesis dengan penalaran didalam struktur kognitif sehingga sampailah pada suatu kesimpulan berupa konsep – konsep matematika. Untuk memudahkan agar dapat dipahami maka digunakan notasi dan istilah yang cermat yang telah disepakati secara global (universal) yang dikenal sebgai bahasa matematika.
James dalam kamus matematikanya mengatakan bahwa matematika adalah ilmu tentang logika mengenai bentuk, susunan, besaran dan konsep-konsep yang berhubungan satu dengan jumlah yang banyak yang terbagi kedalam tiga bidang yakni aljabar, analisis dan geometri. Johnson dan Rising (1972) dalam bukunya mengatakan bahwa  matematika adalah pola berpikir, pola mengorganisasikan, pembuktian yang logika, matematika itu adalah bahasa yang menggunakan istilah yang didefinisikan dengan cermat, jelas, dan akurat, representasinya dengan simbol dan padat, lebih berupa bahasa simbol mengenai ide daripada mengenai bunyi. Reys, dkk mengatakan bahwa matematika adalah telah mengenai pola dan hubungan suatu jalan atau pola berpikir, suatu seni, suatu bahasa dan suatu alat. Kemudian Kline (1973) berpendapat bahwa matematika bukan pengetahuan yang dapat sempurna karena dirinya sendiri, tetapi matematika itu untuk membantu manusia dalam memahami dan menguasai permasalahan sosial, ekonomi dan alam.
Logika adalah dasar untuk terbentuknya matematika yang merupakan bayi dari matematika jadi matematika merupakan masa dewasa dari logika. Awal mula cabang-cabang matematika terdiri dari aritmatika atau berhitung dan geometri kemudian ditemukan kalkulus yang berfungsi sebagai tonggak penopang terbentuknya cabang matematuka baruyang lebih komplekantara lain antropologi, aljabr (Linier, Abstrak, Himpunan), Geometri (Sistem geometri, Geometri linier), Analisis Vektor, dll.
B. Matematika Sebagai Ilmu Deduktif
Maksud dari matematika sebgai ilmu deduksi adalah proses pengerjaan matematik harus bersifat deduktif, tidak menerima generalisasi berdasarkan pengamatan (induktif), tetapi harus berdasarkan pembuktian deduktif. Namun seringkali kita masih memerlukan contoh-contoh khusus atau ilustrasi geometris. Generalisasi yang dibenarkan dalam matematika adalah generalisasi yang telah dapat dibuktikan secara deduktif.
Contoh :
Jumlah dua buah bilangan ganjil adalah bilangan genap
+
1
-3
5
7
1
-3
5
7
2
-2
6
8
-2
-6
2
4
6
2
10
12
8
4
12
14
Dari tabel jumlah ini, jelas bahwa dua bilangan ganjil jika dijumlahkan hasilnya selalu genap. Dalam matematika tidak dibenarkan membuat genaralisasi sebelum membuktikan dengan cara deduktif. Pembuktian secara deduktif tersebut contohnya sebagai berikut :
Andaikan m dan n sembarang dua bilangn bult, mak 2m + 1 dan 2n + 1 tentuknya masing-masing merupakan bilangan ganjil. Jika kita jumlahkan :
(2m+1) + (2n+1) = 2(m+n+1) karena m dan n bilangan bult, mk (m+n+1) bilangan bulat, sehingga 2 (m+n+1) adalah bilangan genap. Jadi jumlah dua bilangan ganjil selalu genap.
Dari contoh ditas dapat disimpulkan bahwa matematika merupakan ilmu deduktif yang tidak menerima generalisasi yang didasarkan kepada observasi (induktif) tetapi generalisasi yang didasarkan pada pembuktian secara deduktif.
D. Matematika Sebagai Ilmu Terstruktur
Maksud dari matematika sebagai terstruktur yaitu matematika mempelajri tentang pola keteraturan tentang struktur yang terorganisasikan. Hal itu dimulai dari unsur-unsur yang tidak terdefinisikan (underfined terms, basic terms, primitive terms) kemudian pada unsur yang didefinisikan, ke aksioma/ postulat dan kahirnya pad teorema (Ruseffendi, 1980:50)konsep-konsep matematika tersusun secara hierarkis, terstuktur , logis dan sistematis mulai dari konsep yang paling sederhana sampai pada konsep yang paling kompleks.
Rounded Rectangle: OPERASI BAGIRounded Rectangle: OPERASI LOGARITMARounded Rectangle: OPERASI KURANGRounded Rectangle: OPERASI AKARRounded Rectangle: OPERASI PANGKATRounded Rectangle: PERSMAANRounded Rectangle: KALIMAT MATEMATIKARounded Rectangle: OPERASI TAMBAHRounded Rectangle: BILANGANRounded Rectangle: OPERASI KALISebagai contoh dapat dilihat susunan topik-topik dalam matematika, untuk sampai pada topik persamaan linier haruslah melalui jalur – jalur pasti yang telah tersusun. Sebaliknya apabila jalur-jalur itu dilanggar, maka konsep persamaan tidak akan tertanam dengan baik.



























Dari diagram diatas, terlihat bahwa untuk memahami konsep persamaan memerlukan konsep-konsep lain yang menjadi prasyaratnya, akan tetapi tidak perlu setiap konsep dibawahnya dipakai. Cukup dipilih sebuah jalur tertentu, tergantung dari tujuan instruksionalnya.
Matematika jelas merupakan ilmu pengetahuan mengenai struktur yang terorganisasikan dengan baik, dan memang bahwa semua struktur dalam matematika diorganisasikan dengan sistematis dalam rangkaian urutas yang logis.
D. Matematika sebagai Ratu dan Pelayan Ilmu
Matematika sebagai ratu atau ibunya ilmu dimaksudkan bahwa matematika adalah sebagai sumber ilmu yang lain.dengan kata lain banyak ilmu – ilmu yang penemuannya dan pengembangannya bergantung dari matematika contohnya, cabang ilmu kimia dan fisika ditemukan dan dikembangkan melalui konsep kalkulus khususnya tentang diferensial. Dari kedudukan matematika sebagai ratu ilmu pengetahuan, tersirat bahwa matematika sebagai suatu ilmu berfungsi pula untuk melayani ilmu pengetahuan maksudnya matematika berkembang untuk dirinya sendiri sebagai ilmu, juga untuk melayani kebutuhan ilmu pengetahuan dalam pengembangan dan operasionalnya. Cabang matematika yang memenuhi fungsinya dinamakan dengan matematika terapan (Applied Mathematics).






















PSIKOLOGI PEMBELAJARAN MATEMATIKA

Salah satu ciri dari pembelajaran matematika masa kini adalah penyajiannya didasarkan pada teori psikologi pembelajaran yang pada saat ini sedang populer dibicarakan oleh para pakar pendidikan. Proses pembelajaran adalah pembentukan diri siswa untuk menuju pada pembangunan manusia seutuhnya, jadi tidak melalui ”trial and eror”. Siswa adalah manusia yang sedang mengembangkan diri secara utuh dan tidak boleh dianggap sebagai kelinci percobaan.
 Guru haruslah mengetahui tingkat perkembangan mental anak dan bagaimana pengajaran yang harus dilakukan sesuai dengan tahap-tahap perkembangan tersebut. Pembeajaran yang tidak memperhatikan tahap perkembangan mental siswa besar kemungkinan akan mengakibatkan siswa mengalami kesulitan, karena apa yang disajikan pada siswa tidak sesuai dengan kemampuannya dalam menyerap materi yang diberikan.
A.    ALIRAN PSIKOLOGI TINGKAH LAKU
Psikologi belajar atau Teori Belajar adalah teori yang mempelajari perkembangan intelektual (mental) siswa yang terdiri dari dua hal yaitu uraian tentang apa yang terjadi dan diharapkan pada intelektual anak dan uraian tentang kegiatan intelektua anak mengenai hal-hal yang bisa dipikirkan pada usia tertentu. Psikologi mengajar atau Teori Mengajar berisi tentang petunjuk bagaimana semestinya mengajar siswa pada usia tertentu (terdapat prosedur dan tujuan mengajar). Menurut istilah dalam kurikulum, peristiwa belajar mengajar disebut sebagai pembelajaran yang berkonotasi pada proses kinerja yang sinergi antara setiap komponennya.
Menurut teori Thorndike, Edward L. Thorndike (1874-1949) mengemukakan hukum belajar ”law of effect” yang mengatakan bahwa keberhasilan mengajar dapat dicapai apabila respon murid terhadap stimulus segra diikuti dengan rasa senang atau kepuasan. Teori ini disebut juga koneksionisme yang menyatakan bahwa pada hakikatnya belajar merupakan proses pembentukan hubungan antara stimulus dan respon. Hukum kesiapan menerangkan bagaimana kesiapan seorang siswa anak dalam melakukan suatu kegiatan. Dari hukum kesiapan iniseorang anak akan lebih berhasil belajarnya jika ia telah siap untuk melakukan Kegiatan Belajar.
Hukum latihan menyatakan bahwa jika hubungan stimulus respond sering terjadi, akibatnya hubungan akan semakin kuat sebaliknya makin jarang stimulus dan respon dipergunakan maka makin lemah hubungan yang terjadi. Kepuasan yang terlahir dari adanya ganjaran dari guru akan memebrikan kepuasan bagi anak, dan anak cenderung untuk berusaha melakukan atau meningkatkan apa yang telah dicapainya itu. Jika asosiasi yang kuat antara pertanyaan dan jawaban, maka bahan yang disajikan akan tertananam lebih lama dalam ingatan anak. Selain itu banyaknya pengulangan akan sangat menentukan lamanya konsep diingat anak.
Kualitas dan kuantitas hasil belajar siswa tegantung dari kualitas dan kuantitas stimulus – respons (S-R) dalam kegiatan belajar mengajar. Implikasi dari aliran pengaitan dalam kegiatan belajar mengajar sehari-hari adalah :
1.            Dalam menjelaskan suatu konsep tertentu guru sebaiknya mengambil contoh yang sekiranya sudah sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari.
2.            Metode pemberian tugas, menggunakan metode latihan (drill dan practice)
3.            dalam kurikulum materi disusun dari materi yang mudah sedang dan sulit sesuai dengan tingkat kelas dan tingkat sekolah
Dalam Teori Skinner (Burhus Frederic Skinner) menyatakan bahwa ganjaran atau penguatan  mempunyai peranan amat penting dalam proses belajar. Ganjaran merupakan respon yang sifatnya menggembirakan dan merupakan tingkah laku yang sifatnya subjektif. Penguatan merupakan sesuatu yang mengakibatkan meningkatnya kemungkinan suatu respon dan lebih mengarah kepada hal-hal yang sifatnya dapat diamati dan diukur. Penguatan dianggap sebagai stimulus positif jika penguatan tersebut seiring meningkatnya perilaku anak dalam melakukan pengulangan perilakunya itu. Contohnya pujian yang diberikan pada anak yang mampu memotivasi anak untuk rajin belajar dan mempertahankan prestasi yang diraih. Sebaliknya jika respon anak kurang atau tidak diharapkan sehingga tidak mendukung tujuan pengajaran harus segera dibri penguatan negatif agar tidak diulangi lagi serta berubah menjadi respon positif. Penguatan negatif ini bisa berupa teguran, peringatan atau sanksi (hukuman edukatif).
Dalam teori Ausubel menyatakan bahwa belajar merupakan suatu bermaknanya dan pentingnya penguangan sebelum belajar dimulai. Dalam hal ini belajar menemukan dengan belajar menerima sangatlah berbeda. Pada belajar menerima siswa hanya menerima, namun pada belajar menemukan konsep ditemukan oleh siswa. Kemudian dibedakan pula belajar menghafal dengan belajar bermakna. Pada belajar menghafal siswa menghafal materi yang sudah diperolehnya, tetapi pada belajar bermakana materi yang telah diperoleh dikembangkan dengan keadaan lain sehingga belajarnya lebih dimengerti. Dalam teori ini juga dijelaskan metode ”ekspositori” yaitu metode mengajar yang paling baik dan bermakna.
Dalam teori gagne mengemukakan bahwa dalam belajar matematika terdapat dua objek yang dapat diperoleh siswa yaitu objk langsung dan objek tak langsung. Objek tak langsung antara lain kemampuan menyelidiki dan memecahkan masalah, belajar mandiri, bersikap positif terhadap matematika, dan tahu bagaimana semestinya belajar. Sedangkan objek langsung berupa fakta, keterampilan, konsep dan aturan. Fakta adalah objek matematika yang tinggal menerimanya, keterampilan berupa kemampuan berupajawaban dengan tepat dan cepat. Konsep adalah ide abstrak yang memungkinkan kita dapat mengelompokkan objek kedalam contoh dan non contoh. Dalam teori ini belajar dikelompokkan menjadi 8 yaitu ;
1.      Belajar isyarat, belajar yang tingkatnya paling rendah karena tidak ada niat atau spontanitas
2.      stimulus respons, kondisi belajar yang ada niat diniati da responsnya jasmaniah.
3.      rangkaian gerak, perbuatan jasmaniah terurut dari dua kegiatan atau lebih dalam rangka stimulus-respons
4.      rangkaian verbal, perbatan lisan terurut dari dua kegiatan atau lebih dalam rangka stimulus-respons
5.      belajar membedakan, belajar memisah-misah rangkaian yang bervariasi
6.      pembentukan konsep / tipe pengelompokan, belajar melihat sifat bersama benda-benda konkrit atau peristiwa untuk dijadikan suatu kelompok
7.      pembentukan aturan
8.      belajar pemecahan masalah, tipe belajar yang paling tinggi karena lebih kompleks dari pembentukan aturan. Dalam pemecaham masalah ini terdapat 5 langkah yang harus dilakukan yakni, menyajikan masalah dalam bentuk yang lebih jelas, menyatakan masalah dalm bentuk yang lebih operasiona, menyusun hipotesis-hipotesis alternatif dan prosedur kerja yang diperkirakan baik, mengetes hipotesis dan melakukan kerja untuk memperoleh hasilnya, mengecek kembali hasil yang sudah diperoleh.
Dalam teori Pavlov yang terkenal dengan sebutan teori belajar klasik mengemukakan konsep pembiasaan (conditioning) jadi dalam kegiatan belajar mengajar agar siswa belajar dengan baik maka harus dibiasakan.
Dalam teori Baruda mengemukakan bahwa siswa belajar melalui meniru yang artinya meniru hal-hal yang dilakukan oleh orang lain terutama guru. Dengan demikian guru harus menjadi manusia model yang profesional.
Dalam aliran mental mengemukakan bahwa struktur otak manusia terdiri atas gumpalan-gumplan otot dimana agar ia kuat maka harus dilatih dengan beban, makin banyak latihan dan beban yang makin berat maka otot (otk) itu makin kuat pula.















































ALIRAN PSIKOLOGI KOGNITIF

A.    TEORI PIAGET
Jean Piaget menyebut bahwa struktur kognitif ini sebagai skemata (schemas), yaitu kumpulan dari skema-skema. Seorang individu dapat mengikat, memahami dan memberikan respons terhadap stimulus disebabkan karena bekerjanya skemata ini. Skemata ini berkembang secara kronologis, sebagai hasil interaksi antara individu dengan lingkungannya. Proses terjadinya skemata adaptasi dari skemata yang telah terbentuk dengan stimulus baru dilakukan dengan dua cara, yaitu:
a.       Asimilasi, yaitu proses pengintegrasian secara langsung stimulus baru kedalam skemata yang telah terbentuk. Proses ini tidak menghasilakn perubahan skemata melainkan hanya menunjang pertumbuhan skemata secara kuantitas.
b.      Akomodasi , yakni proses pengintegrasian stimulus baru kedalam skema yang telah terbentuk secara tidak langsung. Hal ini terjadi karena stimulus baru tidak dapat diasimilasi karena tidak ada skema yang sesuai yang telah dimilikinya. Akomodasi menghasilkan perubahan skemata secara kualitas.
Dalam struktur kognitif setiap individu mesti ada keseimbangan antara asimilasi dengan akomodasi agar dapat mendeteksi persamaan dan perbedaan yang terdapat pada stimulus-stimulus yang dihadapai. Perkembangan kognitif pada dasarnya adalah perubahan dari keseimbangan yang telah dimiliki ke keseimbangan baru yang diperolehnya.
Pola berfikir anak tidak sama dengan pola berfikir orang dewasa. Tahap perkembangan kognitif atau taraf kemampuan berfikir seorang individu sesuai dengan usianya. Makin ia dewasa makin meningkat pula kemampuan berfikirnya. Jadi dalam memandang anak keliru kalau beranggapan bahwa kemampuan anak sama dengan kemampuan orang dewasa, sebab anak bukanlah miniatur orang dewasa. Perkembangan kognitif seorang individu dipengaruhi oleh lingkungan dan transmisi sosialnya. Agar perkembangan kognitif seorang anak berjalan secara maksimal, anak tersebut harus diperkaya dengan banyak pengalaman edukatif. Piaget mengemukakan ada empat tahap perkembangan kognitif dari setiap individu yang berkembang secara kronologis (menurut usia kalender) yakni
a.       Tahap sensori motor (sensory motoric stage), dari lahir sampai umur sekitar 2 tahun. Tahap ini pengalaman diperoleh melalui perbuatan fisik (gerakan anggota tubuh) dan sensori (koordinasi alat indra).
b.      Tahap pra operasi (pre operasional stage), dari sekitar umur 2 tahun sampai sekitar umur 7 tahun. Tahap ini adalah tahap persiapan untuk pengorganisasian operasi konkrit. Operasi adala berupa tindakan-tindakan kognitif, seperti mengklasifikasikan sekelompok objek (classifying), menata letak benda-benda menurut aturan tertentu (seriation), dan membilang (counting).
c.       Tahap operasi kokrit (concrete operational stage), dari sekitar umur 7 tahun sampai sekitar umur 11 tahun. Tahap ini anak telah memahami operasi logis dengan bantuan benda-benda konkrit yang terwujud dalam memahami konsep kekekalan, kemampuan untuk mengklasifikasikan dan serasi, mampu memandang suatu objek dari sudut pandang yang berbeda secara objektif, dan mampu berpikir reversibel. Pada tahap ini ada enam konsep kekekalan yang berkembang yaitu :
·         Kekekalan banyak (6-7 tahun)
·         Kekekalan materi (7-8 tahun)
·         Kekekalan panjang (7-8 tahun)
·         Kekekalan luas (8-9 tahun)
·         Kekekalan berat (9-10 tahun)
·         Kekekalan volum (11-12 tahun)
Kemampuan pada tahap ini antaralain kemampuan mengurutkan objek berdasarkan panjang (7 tahun), mengurutkan berdasarkan besar yang sama tetapi berat berbeda (9 tahun), mengurutkan menurut volumnya (12 tahun). Namun pada tahap ini masih belum mampu untuk merumuskan sendiri definisi-definisi tersebut secara tepat, belum mampu menguasai simbol verbal dan ide-ide abstrak.
d.      Tahap operasi formal (formal operation stage), mulai umur 11 sampai seterusnya. Tahap ini merupakan tahap akhir dari perkembangan kognitif secara kualitas. Anak sudah mampu melakukan penalaran dengan menggunakan hal-hal yang abstrak. Penalaran tersebut diperoleh dengan menggunakan simbol-simbol, ide-ide, abstraksi dan generalisasi. Pada tahap ini anak jug telah memiliki kemampuan untuk melakukan penalaran hipotek-deduktif yakni kemampuan untuk menyusun serangkaian hipotesis dan mengujinya. Serta telah memiliki kemampuan berfikir kombinatorial (combination thought) yaitu kemampuan menyusun kombinasi-kombinasi yang mungkin dari unsur-unsur dalam suatu sistem. Contohnya kombinasi warna, kombinasi beberapa bilangan dan huruf.
B.     TEORI BRUNER
Erome Bruner menyatakan bahwa belajar matematika akan lebih berhasil jika proses pengajaran diarahkan kepada konsep-konsep dan struktur-struktur yang terbuat dalam pokok bahasan yang diajarkan, disamping hubungan yang terkait antara konsep-konsep dan struktur-struktur. Dalam proses belajar anak sebaiknya diberi kesempatan untuk memanipulasi benda-benda (alat peraga). Dari alat peraga tersebut anak akan melihat keteraturan dan pola struktur yang terdapat dalam benda yang sedang diperhatikannya.keteraturan itu kemudian dihubungkan oleh keterangan intuitif yang telah melekat pada dirinya. Dalam proses belajarnya, anak melewati 3 tahap yakni :
  • Tahap enaktif, anak secara langsung terlihat dalam memanipulasi (mengotak-atik)
  • Tahap ikonik, kegiatan yang dilakukan berhubungan dengan mental, yang merupakan gambaran dari objek-objek yang dimanipulasinya. Anak tidak langsung memanipulasi seperti yang dilakukan siswa dalam tahap enaktif.
  • Tahap simbolik, anak memanipulasi simbol-simbol atau lambang-lambang objek tertentu. Anak sudah mampu menggunakan notasi tanpa ketergantungan terhadap objek riil.
Bruner menemukan beberapa dalil diantaranya:
a.       Dalil penyusunan / konstruksi (contruction theorem) yakni jika anak ingin mempunyai kemampuan dalam hal menguasai konsep, teorema, definisi, dan semacamnya anak harus dilatih untuk melakukan penyusunan representasinya. Dalam tahap awal konsep diperlukan aktivitas-aktivitas konkret yang mengantar anak kepada pengertian konsep.
b.      Dalil notasi (notation theorem), yaitu dalam penyajia konsep, notasi memegang peranan penting, notasi yang digunakan menyatakan sebuah konsep tertentu harus disesuaikan dengan tahap perkembangan mental anak.
Contoh : f(x) = 3x – z                         kita menggunakan notasi
                          = (3 x ▲) – 2           
bagi anak yang mempelajari konsep fungsi lebih lanjut, diberikan notasi fungsi [(x,y)‌‌Iy = 3x – 2, x,y, = R]‌. Pendekatan spiral yaitu pendekatan yang menyajikan ide-ide matematika secara sistematis dengan menggunakan notasi-notasi yang bertingkat mulai dari yang sederhana sampai yang lebih kompleks.
c.       Dalil kekontrasan dan keanekaragaman (contras and variation theorem). Dalil ini menyatakan bahwa pengontrasan dan keanekaragaman sangat penting dalam melakukan pengubahan konsep dipahami dengan mendalam, diperlukan contoh-contoh yang banyak sehingga anak mampu mengetahui karakteristik konsep tersebut. Anak perlu diberi contoh yang memenuhi rumusan atau teorema yang diberikan serta contoh-contoh yang tidak memenuhi rumusan, sifat atau teoremma sehingga tidak terjadi salah pengertian terhadap konsep.
d.      Dalil pengaitan (connectivity theorem). Dalil ini dinyatakan bahwa dalam matematika antara satu konsep dengan konsep yang lain terdapat hubungan yang erat, bukann saja dari segi isi, namun juga dari segi rumus-rumus yang digunakakn. Materi yang satu mungkin merupakan prasyarat bagi yang linnya, atau suatu konsep tertentu diperlukan untuk menjelaskan konsep yang lainnya. Misal konsep dalil pythagoras diperlukan untuk menentukan triple pythagoras atau pembuktian rumus kuadratis dalam trigonometri.
C.    TEORI GESTALT
John Dewey mengemukakan bahwa pelaksanaan kegiatan belajar mengajar yang diselenggarakan oleh guru harus memperhatikan hal-hal berikut :
a.       Penyajian konsep harus lebih mengutamakan pengertian
b.      Pelaksanaan kegiatan belajar mengajar harus memperhatikan kesiapan intelektual siswa
c.       Mengatur suasana kelas agar siswa siap belajar.
D.    TEORI BROWNEL
W. Brownell mengemukakan bahwa belajar matematika harus merupakan belajar bermakna dan pengertian. Belajar pada hakikatnya merupakan suatu proses bermakna. Teori yang dikemukakan ini sesuai dengan teori belajar mengajar Gestalt yang muncul dipertengahan 1930 yakni mengggunakan latihan hafal atau driil merupakan sangat penting dilakukan dalam kegiatan pengajaran cara ini diterapkan setelah tertanamnya pengertian.
E.     TEORI DIENES
Dienes berpendapat bahwa pada dasarnya matematika dapat dianggap sebagai studi tentang struktur, memisah-misahkan hubungan-hubungan diantara struktur-struktur dan mengkategorikan hubungan diantara struktur-struktur. Tiap-tiap konsep atau prinsip dalam matematika yang disajikan dalam bentuk yang konkret akan dapat dipahami dengan baik. Jadi objek-objek atau benda-benda dalam bentuk permainan akan sangat berperan bila dimanipulasi dengan baik dalam pengajaran matematika.permainan bebas merupakan tahap belajar konsep yang aktivitasnya tidak berstruktur dan tidak diarahkan. Aktivitas ini memungkinkan anak mengadakan percobaan dan mengotak atik (memanipulasi) benda-benda konkret dari unsur-unsur yang sedang dipelajarinya itu. Representasi adalah tahap pengambilan kesamaan  sifat dari beberapa situasi yang sejenis. Formalisasi merupakan tahap dimana anak dituntut untuk megurutkan sifat-sifat konsep dan kemudian merumuskan sifat-sifat baru dari konsep tersebut.
F.     TEORI VAN HIELE
Menurut Van Hiele, tiga unsur utama dalam pengajaran geometri yakni waktu, materi, pengajaran dan metode pengajaran yang diterapkan. Jika ditata secara terpadu akan dapat meningkatkan kemampuan berfikir anak kepada tingkatan berfikir yang lebih tinggi. Van hiele menyatakan ada 5 tahap belajar anak dalam belajar geometri yaitu :
a.       Tahap Pengenalan (Visualisasi), anak mulai belajar mengenai suatu bentu geometri secara keseluruhan namun belum mampu mengetahui adanya sifat-sifat dari bentuk geometri yang dilihatnya.
b.      Tahap Analisis, anak sudah mulai mengenai sifat-sifat yang dimiliki benda geometri yang diamati. Ia sudah mampu menyebutkan keteraturan yang terdapat pada benda geometri itu.
c.       Tahap Pengurutan, anak sudah mulai mmapu melaksanakan penarikan kesimpulan (berpikir deduktif). Namun kemampuan ini belum berkembang secara penuh. Anak pada tahap ini sudah mampu mengurutkan.
d.      Tahap Deduksi , anak sudah mampu menarik kesimpulan secara deduktif yakni penarikan kesimpulan dari hal-hal yang bersifat umum menuju ke hal-hal yang bersifat khusus serta telah mengerti betapa pentingnya peranan unsur-unsur yang tidak didefinisikan disamping unsur-unsur yang didefinisikan.
e.       Tahap Akurasi, anak sudah mulai menyadari betapa pentingnya ketepatan dari prinsip-prinsip dasar yang melandasi atau pembuktian. Misalnya ia mengetahui pentingnya aksioma-aksioma atau postulat-postulat dari geometri euclid. Tahap ini merupakan tahap berpikir yang tinggi, rumit, dan kompleks. Oleh karena itu tidak mengherankan jika tidak semua anak meskipun sudah duduk dibangku sekolah atas, masih belum sampai pada tahap berpikir ini.



PENDEKATAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA
KONSTRUKTIVISME


Ketika seseorang hendak mencapai sesuatu ia harus memilih pendekatan yang tepat sehingga memperoleh hasil yang optimal makna dari pendekatan pembelajaran matematika adalah cara yang ditempuh guru dalam pelaksanaan pembelajaran agar konsep yang disajikan bisa beradaptasi dengan siswa. Dikatakan oleh nisbet (1985) tidak ada cara pembelajaran yang benar dan baik dikarenakan perbedaan dalm kemampuan intelektual, sikap kepribadian sehingga mereka mengadopsi pendekatan karakteristik yang berbeda dalam proses belajar mengajar. Beberapa pendekatan pembelajarn matematika antara lain konstruktivisme, problem solving, open ended (pendekatan terbuka) dan pendekatan realistik.
Berdasarkan pendekatan kontruktivisme siswa mampu mempresentasikan temuan-temuan yang didapat diluar pembelajaran sehari-hari kepada teman-temannya dan ketika siswa memberikan jawaban benar, guru mencoba untuk tidak mengatakan bahwa jawabannya benar atau tidak namun guru hanya mendorong siswa untuk setuju atau tidak setuju kepada ide yang didapatdan saling tukar pendapat sehingga mereka bisa berbagi strategi dan penyelesaian. Debat antara satu dengan lainnya berfikir secara kritis tentang cara yang terbaik untuk menyelesaikan setiap masalah. Beberapa prinsip pembelajaran dengan pendekatan konstruktivisme diantaranya bahwa observasi dan mendengar kativitas dan pembicaraan matematika siswa adalah sumber yang kuat dan petunjuk untuk mengajar, untuk kurikulum, untk cara-cara dimana pertumbuhan pengethauan siswa dapat dievaluasi. Dalam kontruktivitisme aktivitas matematika menggunakan apa yang biasa muncul dalam materi kurikulum kelas biasa. Dalam konstruktivisme pembelajarannya senantiasa ”problem centered approach” dimana guru dan siswa terikat dalma pembicaraan yang memiliki makna matematika.
Dari perspektifnya konstriktivis belajar matematika bukanlah suatu proses ”pengepakan” pengethauan secara hati-hati, melainkan hal mengorganisir aktivitas, dimana kegiatan ini didefinidikan bahwa belajar matematka merupakan proses dimana siswa secara aktif mengkonstruksi pengetahuan matematika. Dalma p[embelajaran matematikan ini melibatkan manipulasi aktif dari pemaknaan bukan ahanya bilangan dan rumus-rumus saja. Setiap tahap pembelajaran melibatkan suatu proses penelitian terhadap makna dan penyampaian ketrampilan hafalan dengan cara yang tidak ada jaminan bahw asiswa akan menggunakan keterampilan intelegennya dalam setting matematika. Belajar dipandang sebagai proses aktif dan konstruktif dimana siswa mencoba untuk menyelesaikan masalah yang muncul sebagaimana mereka berpartisipasi secara aktif dalam latihan matematika di kelas. Dalam mengkonstruksi pengertian matematika melalui pengalaman, dapat diidentifikasi 10 karakteristik powerful constructions berfikir siswa yaitu :
a.       Sebuah struktur denga ukuran kekonsistenan internal
b.      Suatu keterpasuan antar bermacam-macam konsep
c.       Suatu kekonvergenan diantara anek abentuk dan konteks
d.      Kemampuan untk merefleksi dan menjelaskan
e.       Sebuah kesinambungan sejarah
f.       Terikat kepada bermacam-macam system symbol
g.      Suatu yang cocok dengan pendapat experts (ahli)
h.      Suatu yang ppotensial untuk bertindak sebagai aat untuk konstruksi lebih lanjut.
i.        Sebagai petunjuk untuk tindakan berikutnya
j.        Suatu kemampuan untuk menjustifikasi dan mempertahankan
Peranan guru dan peranan siswa lain adalah menjustifikasikan berpikirnya siswa dalam matematika. Salah satu yang mendasar dalam pembelajaran matematika menurut konstruktivis adalah suatu pendekatan dengan jawab tak terduga sebelumnya dengan suatu ketertarika yang cerdik dalam mempelajari karakter, keaslian, cerita dan implikasinya. Menurut konstruktivis, secara substantif belajar matematika adalah proses pemecahan masalah, konstruktivisme telah memfokuskan secara eksklusif pada proses dimana siswa secara individual aktif mengkonstruksi realitas matematika merea sendiri.
Indikator belajar mengajar berdasarkan konstruktivisme, matematika hanyaah sebagai alat untuk berfikir, fokus utama belajar matematika adlah memberdayakan siswa untuk berfikir mengkonstruksi pengetahuan matematika yang pernah ditemukan oleh ahli-ahli sebelumnya. Dalam pandangan konstruktivisme guru harus secara terus menerus menyadarkan untuk mencoba melihat keduanya aksi siswa dengan dirinya dari sudut pandang siswa. Kualitas pembelajaran ditandai seberapa luas dalam lingkungan belajar ;
·         Mulai darimana siswa ini berada
·         Mengenali bahwa siswa belajar dengan kecepatan yang berbeda dan cara yang berbeda
·         Melibatkan siswa secara fisik dalm proses belajar
·         Meminta siswa untuk memvisualkan yang imajiner.
Perbedaan paradigma konstruktivisme dengan pendekatan tradisional adalah dalam konstruktivisme peranan guru bukan pemberi jawaban akhir atas pertanyan siswa, melainkan mengarahkan mereka untuk membentuk (mengkonstruksi) pengetahuan matematika sehingga diperoleh struktur matematika. Sedangkan paradigma tradisional guru mendominasi pembelajaran dan guru senantiasa menjawab dengan segera terhadap pertanyaan-pertanyaan siswa.
Posisi guru daam pembelajaran matematika untuk bernegosiasi dengan siswa yaitu berupa pengajuan pertanyaan-pertanyaan kembali, atau pertanyaan-pertanyaan yang menantang siswa untuk berfikir lebih lanjut yang dapat mendorong mereka sehingga penguasaan konsepnya semakin kuat. Evaluasi dalam pendidikan adalah suatu investigasi sistematis tentang nilai atau merit tentang suatu tujuan.yang termasuk evaluasi adalah kumpulan bukti-bukti secara sistematis untuk membantu membuat keputusan tentang sistwa belajar, pengembangan materi, program. Yang dimaksud evaluasi dan assement adalah cara guru mengakses (menilai) prestasi siswa belajar matematika. Evaluasi merupakan thap ketiga dari pembelajaran. Dalam memberikan assement pengetahuan matematika siswa diperoleh data kemampuan siswa dalam matematika, pengetahuan siswa pada konsep matematika, prosedur matematika dan kemampuan  problem solving, reasoning dan komunikasi.
Pandangan tradisional memandang matematika sebagai pengetahuan dan keterampilan yang terdefinisi secara ketat yakni belajar melalui transmisi, belajar dengan sikap yang compliant (selalu mengalah), menilai siswa melalui tes menggunakan kertas dan pensil tanpa perlu terlihat. Sebaliknya pandangan konstruktivisme menolak pembelajaran yang dilakukan oleh pandangan tradisional dan meletakkan tanggung jawab belajar dari guru kepad murid. Tangung jawab guru dalam proses belajar adalah untuk menstimulasi dan memotivasi siswa, menyediakan pengalaman untuk menumbuhkan pemahaman, mendiagnosa dan mengatasi kesulitan siswa, mengevaluasi.
Seorang guru matematika hendaknya mempromosikan dan mendorong pengembangan setiap individu didalam kelas untuk menguatkan konstruksi matematika, untuk pengajuan pertanyan (posing), pengkonstruksian, pemecahan dan pembenaran masalah-masalah matematika serta konsep-konsep matematika. Guru juga diharapkan mencoba berusaha mengembangkan kemampuan siswa untuk merefleksikan dan mengevaluasi kualitas konstruksi mereka (para siswa).



















































PENDEKATAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA
REALISTIK


Beberapa penelitian pendahuluan dibeberapa negara menunjukkan bahwa pembelajaran menggunakan pendekatan realisti, sekurang-kurangnya dapat membuat:
·         Matematika lebih menarik, relevan dan bermakna, tidak terlalu formal dan tidak terlalu abstrak
·         Mempertimbangkan tingkat kemampuan siswa
·         Menekankan belajar matematika pada ”learning by doing”
·         Memfasilitasi penyelesaian masalah matematika dengan tanpa menggunakan penyelesaian (algoritma) yang berlaku.
·         Menggunakan konteks sebagai titik awal pembelajaran matematika (Kuiper & Knuver, 1993)
Salah satu filosofi yang mendasari pendekatan realistik adalah bahwa matematika bukanlah satu kumpulan aturan atau sifat-sifat yang sudah lengkap yang harus siswa pelajari. Menurut Freudenthal (1991) bahwa matematika adalah suatu pelajaran yang dinamis yang dapat dipelajari dengan cara mengerjakannya.
A.    INOVASI PEMBELAJARAN MATEMATIKA
Ronberg (1992) mengatakan bahwa dalam pendidikan khususnya dalam pendidikan matematika, individu atau kelompok dapat membuat suatu produk baru untuk memperbaiki suatu pembelajaran, mungkin berupa produk materi pembelajaran baru, teknik pembelajaran ataupun program pembelajaran baru. Pengembangan baru ini melibatkan proses engineering dengan cara menemukan bagian-bagian tertentu dan meletakkannya kembali untuk membuat suatu bentuk baru. Ada empat tahap utama dalam pengembangan ini yaitu desain hasil, kreasi hasil, implementasi hasil, dan penggunaan hasil.
Bentuk inovasi tersebut dimaksudkan untuk mengoptimalkan hasil proses belajar mengajar yang ditandai dengan meningkatnya kemampuan siswa dalam menyerap konsep-konsep, prosedur, dan algoritma matematika. Pengembangan pembelajaran matematika dengan pendekatan realistik merupakan salah satu usaha meningkatkan kemampuan siswa memahami matematika. Usaha-usaha ini dilakukan sehubungan dengan adanya perbedaan antara ”materi” yang dicita-citakan oleh kurikulum tertulis (intended curriculum) dengan ”materi yang diajarkan” (implemented curriculum) (Niss, 1996).
B.     PENDEKATAN REALISTIK DIANTARA PENDEKATAN YANG LAIN
Secara umum terdapat empat pendekatan pembelajaran matematika yang dikenal Treffers (1991) membaginya dalam mechanistic,structuralistic, dan realistic. Menurut filosofi mechanistic bahwa manusia ibarat komputer, sehingga dapat diprogram dengan cara drill untuk mengerjakan hitungan atau algoritma tertentu dan menampilkan aljabar pada level yang paling sederhana atau bahkan mungkin dalam penyelesaian geometri serta berbagai masalah, membedakan dengan mengenali pola-pola dan proses yang berulang-ulang. Dalam filosofi structuralistic yang secara historis berakar pada pengajrn geometri tradisional yakni matematika dan sistemnya terstruktur secara bik. Manusia dengan kemuliaannya belajar dengan pandangan dan pengertian dalam berbagai rational, ia dianggap sanggup menampilkan deduksi-deduksi yang lebih efisien dengan cara mengunakan subjek mater sistematik dan terstruktur dengan baik. Menurut Freudenthal (1991) matematika struturalis diajarkan dimenara gading oleh ratio individu yang jauh dari dunia masyarakat. Menurut filosofi empiristik bahwa dunia adalah kenyataan. Dalam pandangan ini, kepada siswa disediakan berbagai material yang sesuai dengan dunia kehidupan para siswa. Dalam filosofi realistic kepada siswa diberikan tugas-tugas yang mendekati kenyataan, yaitu yang dari dalam siswa akan memperluas dunia kehidupannya.
Dalam rangaka realistic mathematics education, Freudenthal (1991) menyatakan bahwa ”Mathematics is human activity”” karenanya pembelajaran matematika disarankan berangkat dariaktivitas manusia.
C.     PRINSIP-PRINSIP PEMBELAJARAN REALISTIK
Terdapat lima prinsip utama dalam ”kurikulum” matematia realistik ;
a.       Didominasi oleh masalah-masalah dalam konteks, melayani dua hal yaitu sebagai sumber dan sebagai terapan konsep matematika
b.      Perhatian diberikan pada pengembangan model-model, situasi, skema dan simbol-simbol
c.       Sumbangan dari para siswa, sehingga siswa dapat membuat pembelajaran menjadi konstruktif dan produktif artinya siswa memproduksi sendiri dan mengkonstruksi sendiri (yang mungkin berupa algoritma, rule atau aturan), sehingga dapat membimbing para siswa dari level matematika informal menuju matematika formal
d.      Interaktif sebagai karakteristik dari proses pembelajaran matematika
e.       ”intertwinning” (membuat jalinan) antar topik atau antar pokok bahasan atau antar ”strand”
Dalam pendekatan realistik mengunakan developmental research Freudentha (1991) menjelaskan ”developmental research” adalah pengalaman proses siklis dari pengembangan dan penelitian secara sadar, kemudian dilaporkannya secara jelas. Menurut Treffers dan dan Goffre (1985, dalam De Lange 1996) bahwa masalah kontekstual dalam kurikulum realistik beguna untuk mengisi sejumlah fungsi :
a.         Pembentukan konsep : dalam fase pertama pembelajaran para siswa diperkenankan untuk masuk kedalam matematika secara alamiah dan termotivasi
b.        Pembentukan model : masalah-masalah kontekstual memasuk fonasi siswa untuk belajar operasi, prosedur, notasi, aturan dan mereka mengerjakan ini dalam kaitannya dengan model-model lain yang kegunaannya sebagai pendorong penting dalam berpikir.
c.         Praktek dan latihan dari kemampuan spesifik dalam situasi terapan.
D.    PERTIMBANGAN MENGGUNAKAN PENDEKATAN REALISTIK
Pada dasarnya pendekatan realistik membimbing siswa untuk ”menemukan kembali” konsep – konsep matematika yang pernah ditemukan oleh para ahli matematika atau bila memungkinkan siswa dapat menemukan sama sekali hal yang belum pernah ditemukan. Ini dikenal sebagai guided reinvention (Freudenthal,1991). Dikaitkan dengan prinsip-prinsip pembelajaran dalam pendekatan matematika realistik, berikut ini merupakan rambu-rambu penerapanya :
a.       Bagaimana ”Guru” menyampaikan matematika kontekstual sebagai starting point pembelajaran
b.      Bagaimana ”Guru” menstimulasi, membimbing, dan memfasilitasi agar prosedur, algoritma, simbol, skema dan model yang dibuat oleh siswa mengarahkan mereka untuk sampai kepada matematika formal.
c.       Bagaimana ”Guru” memberi atau mengarahkan kelas, kelompok, maupun individu untuk menciptakan free production, menciptakan caranya sendiri dalam menyelesaikan soal atau menginterpretasikan problem konstekstual sehingga tercipta berbagai macam pendekatan, atau metode penyelesaian atau logaritma.
d.      Bagaimana ”Guru” membuat kelas bekerja secara interaktif sehingga interaksi diantara mereka antara siswa dengan siswa dalam kelompok keil, dan antara anggota-anggota kelompok dalam presentasi umum, serta antara siswa dan guru.
e.       Bagaimana ’Guru” membuat jalinan antara topik dengan topik lain, antar konsep dengan konsep lain, dan antara satu simbol dengan simbol lain didalam rangkaian topik matematika.
Sebuah laporan penelitian terhadap implementasi pembelajaran matematika berdasarkan realistik mengatakan bahwa :
a.       sekurang-kurangnya telah mengubah sikap siswa menjadi lebih tertarik terhadap matematika
b.      pada umumnya siswa menyenangi matematika dengan pendekatan pembelajaran yang diberikan dengan alasan cara belajarnya berbeda (dari biasanya), pertanyan-pertanyaannya menantang, adanya pertanyaan-pertanyaan tambahan sehinngga menambah wawasan, lebih mudah mempelajarinya karena persoalannya menyangkuut kehidupan sehari-hari (Turmudi, 2000)

















PENDEKATAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA
OPEN ENDED


4.4       Pendekatan Open – Ended  Dalam Pembelajaran Matematika
            Dalam kehidupan sehari – hari kita selalu menghadapi banyak problem. Permasalahan – permasalahan itu tentu saja tidak semuanya merupakan permasalahan matematis, namun matematika memiliki peranan yang sangat sentral dalam menjawab masalah keseharian itu. Oleh karena itu cukup beralasan jika pendekatan problem solving menjadi tren dalam pembelajaran matematika belakangan ini.
            Tidak sedikit guru matematika yang merasa kesulitan dalam membelajarkan siswa bagaimana menyelesaikan problem matematika. Kesulitan itu lebih disebabkan suatu pandangan yang mengatakan bahwa jawaban akhir dari permasalahan merupakan tujuan utama dari pembelajaran. Padahal perlu kita sadari bahwa proses penyelesaian suatu problem yang dikemukakan siswa merupakan tujuan utama dalam pembelajaran problem solving matematika.
4.4.1    Apakah Pendekatan Open – Ended itu?
            Problem yang diformulasikan memiliki multi jawaban yang benar disebut problem tak lengkap disebut juga problem Open – Ended atau problem terbuka. Siswa dihadapkan dengan problem Open – Ended tujuan utamanya bukan untuk mendapatkan jawaban tetapi lebih menekankan pada cara bagaimana sampai pada suatu jawaban. Pembelajaran dengan pendekatan Open – Ended biasanya dimulai dengan memberikan problem terbuka kepada siswa.
            Menurut Shimada (1997) dalam pembelajaran matematika, rangakaian dari pengetahuan, ketrampilan, konsep, prinsip, atau aturan diberikan kepada siswa biasanya melalui langkah demi langkah. Tentu saja rangkaian ini diajarkan tidak sebagai hal yang saling terpisah atau saling lepas, namun harus disadari sebagai rangkaian yang terintegrasi dengan kemampuan dan sikap dari setiap siswa, sehingga di dalam pikirannya akan terjadi pengorganisasian intelektual yang optimal.
            Tujuan dari pembelajaran Open – Ended menurut Nohda (2000) ialah untuk membantu mengembangkan kegiatan kreatif dan pola piker matematis siswa melalui problem solving secara silmultan. Hal yang dapat digaris bawahi adalah perlunya member kesempatan siswa untuk berpikir dengan bebas sesuai dengan minat dan kemampuannya.
            Dari perspektif di atas, pendekatan Open – Ended menjanjikan suatu kesempatan kepada siswa untuk menginvestigasi berbagai strategi dan cara yang diyakininya sesuai dengan kemampuan mengelaborasi permasalahan. Tujuannya tiada lain adalah agar kemampuan berpikir matematika siswa dapat berkembang secara maksimal dan pada saat yang sama kegiatan – kegiatan kreatif dari setiap siswa terkomunikasikan melalui proses belajar mengajar. Perlu digaris bawahi bahwa kegiatan matematik dan kegiatan siswa disebut terbuka jika memenuhi ketiga aspek berikut.
1.      Kegiatan siswa harus terbuka.
2.      Kegiatan matematik adalah ragam berpikir.
3.      Kegiatan siswa dan kegiatan matematik merupakan satu kesatuan.
(1)     Kegiatan siswa harus terbuka
            Yang dimaksud kegiatan siswa harus tebuka adalah kegiatan pembelajaran harus mengakomodasi kesempatan siswa untuk melakukan segala sesuatu secara bebas sesuai kehendak mereka. Misalnya, Guru menberikan permasalahn seperti berikut kepada siswa:
Dengan menggunakan berbagai cara, hitunglah jumlah sepuluh bilangan ganjil pertama mulai dari satu!
Siswa berkesempatan melakukan beragam aktivitas untuk menjawab permasalahan yang diberikan, sehingga mereka sampai pada pemikiran seperti berikut.
(i)                 (1+9) + (3+17) + (5+15) + (7+13) + (9+11) = 20 x 5 = 100
(ii)               (1+9) + (3+7) + (5+5) + (7+3) + (9+1) + (10x5) = 100
(iii)             1+3 = 4, 4+5 = 9, 9+7 = 16, 16+9 = 25,….
Dari jawaban (iii) siswa ada yang menemukan pola bahwa,
1+3 = 2x2, 4+5  = 9, 9+7 = 4x4,…. 81+19 = 10x10,
Artinya, 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 = 10x10 = 100 ( jumlah sepuluh bilangan ganjil yang pertama adalah 10² = 100.
     Pendekatan untuk menjawab pertanyaan - pertanyaan seperti ini akan mengundang kemungkinan beragam kegiatan matematik yang dapat dilakukan siswa dengan penuh perhatian. Dengan kata lain di samping potensi pengembangan permasalahan oleh siswa lebih besar lagi, juga siswa akan sampai pada proses generalisasi. Dengan cara demikian siswa akan benar – benar merasa berkepentingan dan termotivasi tinggi untuk menyelesaikan permasalahan sendiri.
(2)     Kegiatan matematik merupakan ragam berpikir
            Kegiatan matematika adalah kegiatan yang di dalamnya terjadi proses pengabstraksian dari pengalaman nyata dalam kehidupan sehari – hari ke dalam dunia matematika atau sebaliknya. Pada dasarnya kegiatan matematik akan mengundang proses manipulasi dan manifestasi dalam dunia matematika. Kegiatan semacam ini menjadi suatu pendekatan kognitif dan representative ke dalam dunia matematika. Di sini secara potensial akan melatih ketrampilan siswa dalam menggeneralisasi dan mendiversifikasi suatu masalah.
(3)     Kegiatan siswa dan kegiatan matematik merupakan satu kesatuan
            Dalam pembelajaran matematika, guru diharapkan dapat mengangkat pemahaman siswa bagaimana memecahkan permasalahan dan perluasan serta pendalaman dalam berpikir matematik sesuai dengan kemampuan individu. Kegiatan siswa dengan matematik dikatakan silmultan dalam pembelajaran, jika kebutuhan dan berpikir matematik siswa terperhatikan guru melalui kegiatan – kegiatan matematik yang bermanfaat untuk menjawab permasalahan lainnya. Dengan kata lain, ketika siswa melakukan kegiatan matematika untuk memecahkan permasalahan yang diberikan, dengan sendirinya akan mendorong potensi mereka untuk melakukan kegiatan matematik pada tingkatan berpikir yang lebih tinggi. Dengan demikian, guru tidak perlu mengarahkan agar siswa memecahkan permasalahan dengan cara atau pola yang sudah ditentukan, sebab akan mengahambat kebebasan siswa untuk menemukan cara baru menyelesaikan permasalahan.

4.4.2    Orientasi Pendekatan Open – Ended dalam Pembelajaran Matematika
            Banyak kegiatan berpikir yang sulit terlepas dari matematika, seperti memahami suatu konsep matematika, memecahkan permasalahan matematik, mengkonstruksi suatu teori, atau menyelesaikan permasalahan dengan menerapkan matematika. Kegiatan berpikir seperti ini dapat disebut kegiatan matematika  

4.4.3    Mengkontruksi Problem
            Sebenarnya tidak mudah mengembangkan program Open – Ended yang tepat dan baik untuk siswa dengan beragam kemampuan. Melalui penelitian yang panjang di Jepang, ditemukan beberapa hal yang dapat dijadikan acuan dalam mengkreasi problem tersebut, diantaranya:
·         Sajikan permasalahan melalui situasi fisik yang nyata di mana konsep – konsep matematika yang diamati dan dikaji siswa.
·         Soal – soal pembuktian dapat diubah sedemikian rupa sehingga siswa dapat menemukan hubungan dan sifat – sifat dari variable dalam persoalan itu.
·         Sajikan bentuk – bentuk atau bangun – bangun (geometri) sehingga siswa dapat membuat suatu konjektur.
·         Sajikan urutan bilangan atau table sehingga siswa dapat menemukan aturan matematika.
·         Berikan beberapa contoh kongkrit dalam beberapa kategori sehingga siswa bisa mengelaborasi sifat – sifat dari contoh itu menemukan sifat – sifat yang umum.
·         Berikan beberapa latihan serupa sehingga siswa dapat menggeneralisasi dari pekerjaannya.
4.4.4    Mengenbangkan Rencana Pembelajaran
            Setelah guru mengkontruksi problem dengan baik, Tiga hal yang harus diperhatikan dalam pembelajaran sebelum problem itu ditampilkan di kelas adalah:
·         Apakah problem itu kaya dengan konsep – konsep matematika dan berharga?
  • Apakah level matematika dari problem itu cocok untuk siswa?
  • Apakah problem itu mengundang pengembangan konsep matematika lebih lanjut?
Apabila kita telah menformulasi problem mengikuti kriteria yang telah dikemukakan, langkah selanjutnya adalah mengembangkan rencana pembelajaran yang baik. Pada tahap ini hal – halyang harus diperhatikan adalah sebagai berikut.
Tuliskan respon siswa yang diharapkan
            Siswa diharapkan merespon problem Open – Ended dengan berbagai cara. Oleh karena itu guru harus menuliskan daftar antisipasi respon siswa terhadap problem. Karena kemampuan siswa dalam mengekspresikan idea atau pikirannya terbatas, mungkin mereka tidak akan mampu menjelaskan aktivitas mereka dalam memecahkan problem itu.
Tujuan dari problem itu diberikan harus jelas
            Guru harus memahami peranan problem itu dalam keseluruhan rencana pembelajaran. Problem dapat diperlakukan sebagai topik independen, seperti dalam pengenalan konsep baru, atau sebagai rangkuman dari kegiatan belajar siswa.
 Sajikan problem semenarik mungkin
            Konteks permasalahan yang diberikan harus dikenal baik oleh siswa dan harus membangkitkan semangat intelektual.
Lenkapi prinsip ‘posing problem’ sehingga siswa memahami dengan mudah maksud dari problem itu
            Problem harus diekspresikan sedemikian sehingga siswa dapat memahaminya dengan mudah dan menemukan pendekatan rencananya. Siswa dapat mengalami kesulitan jika eksplanasi problem terlalu ringkas.
Berikan waktu yang cukup kepada siswa untuk mengeksplorasi problem
Kadang – kadang waktu yang dialokasikan tidak cukup dalam menyajikan problem, memecahkannya, mendiskusikan pendekatan dan penyelesaian, dan merangkum apa yang telah siswa pelajari. Oleh karena itu guru harus memberikan waktu yang cukup kepada siswa untuk mengeksplorasi problem. Guru dapat membagi dua periode waktu untuk satu problem Open – Ended. Periode pertama, siswa bekerja secara individual atau kelompok dalam memecahkan problem dan membuat rangkuman dari proses penemuan yang mereka lakukan. Kemudian periode kedua, digunakan untuk diskusi kelas mengenai strategi dan pemecahan serta penyimpulan dari guru. Dari pengalaman seperti ini terbukti efektif.
4.4.5    Keunggulan dan Kelemahan Pendekatan Open – Ended
            Dalam pendekatan Open – Ended  guru memberikan permasalahan kepada siswa yang solusinya atau jawabannya tidak perlu ditentukan hanya satu jalan/cara. Guru harus memanfaatkan keberagaman cara atau prosedur untuk menyelesaikan masalah itu untuk memberi pengalaman siswa dalam menemukan sesuatu yang baru berdasarkan pengetahuan, ketrampilan, dan cara berpikir matematik yang telah diperoleh sebelumnya. Keunggulan dari pendekatan ini antara lain:
·         Siswa berpartisipasi lebih aktif dalam pembelajaran dan sering mengekspresikan idenya.
  • Siswa memiliki kesempatan lebih banyak dalam memanfaatkan pengetahuan dan ketrampilan matematik secara komprehensif.
  • Siswa dengan kemampuan matematika rendah dapat merespon permasalahan dengan cara mereka sendiri.
  • Siswa secara intrinsik termotivasi untuk memberikan bukti atau penjelasan.
  • Siswa memiliki pengalaman banyak untuk menemukan sesuatu dalam menjawab permasalahan.
Di samping keunggulan yang dapat diperoleh dari pendekatan Open – Ended terdapat beberapa kelemahan, diantaranya:
Ø  Membuat dan menyiapkan masalah matematik yang bermakna bagi siswa bukanlah pekerjaan mudah.
Ø  Mengemukakan masalah yang langsung dapat dipahami siswa sangat sulit sehingga banyak siswa yang mengalami kesulitan bagaimana merespon permasalahan yang ada.
Ø  Siswa dengan kemampuan tinggi bisa merasa ragu atau mencemaskan jawaban mereka.
Ø  Mungkin ada sebagian siswa yang merasa bahwa kegiatan belajar mereka tidak menyenangkan karena kesulitan yang mereka hadapi.
























PENDEKATAN PEMBELAJARAN MATEMATIKAPENDEKATAN PEMECAHAN MASALAH

1.      PENDAHULUAN
Pemecahan masalah merupakan bagian dari kurikulum matematika yang sangat penting karena dalam proses pembelajaran maupun penyelesaiannya,siswa dimungkinkan memperoleh pengalaman menggunakan pengetahuan serta keterampilan yang sudah dimiliki untuk diterapkan pada pemecahan masalah yang bersifat tidak rutin. Suryadi,dkk.(1999) dalam surveinya tentang “Curent situation on mathematics and science education in Bandung” menemukan bahwa pemecahan masalah matematika merupakan salah satu kegiatan matematik yang dianggap penting baik oleh guru maupun siswa di semua tingkatan mulai dari SD-SMU. Namun hal tersebut masih dianggap sebagai hal yang paling sulit baik bagi guru yang mengajarkannya dan bagi siswa yang mempelajarinya.
Berdasarkan teori belajar yang dikemukakan oleh Gagne(1970) bahwa keterampilan intelektual tingkat tinggi dapat dikembangkan melalui pemecahan masalah.
Delapan tipe belajar menurut Gagne:
1.      Signal learning
2.      Stimulus-response learning
3.      Chaining
4.      Verbal association
5.      Discrimination learning
6.      Concept learning
7.      Rule learning
8.      Problem solving
Hasil penelitian Capper (1984) menunjukkan bahwa pengalaman siswa sebelumnya, perkembangan kognitif, serta minat(ketertarikannya) terhadap matematika merupakan faktor-faktor yang sangat berpengaruh terhadap keberhasilan dalam pemecahan masalah.
Menurut Polya(1957) solusi soal pemecahan masalah memuat 4 langkah fase penyelesaian:
§      Fase pertama (Memahami masalah)
§      Fase kedua (Merencanakan penyelesaian)
§      Fase ketiga (Menyelesaikan masalah sesuai rencana)
§      Fase keempat (Melakukan pengecekan kembali terhadap semua langkah yang telah dikerjakan)
Berdasar hasil penelitian Driscoll (1982) pada anak usia sekolah dasar kemampuan pemecahan masalah erat sekali kaitannya dengan kemampuan pemecahan masalah.Sedang pada anak yang sudah dewasa kaitan antar kedua hal tersebut sangat kecil.Disadari atau tidak bahkan seringkali dihadapkan pada suatu hal yang pelik dan kadang-kadang pemecahannya tidak dapat diperolah dengan segera. Dengan demikian ini adalah tugas guru untuk membantu menyelesaikan masalah dengan spektrum yang luas ini.
2.      MASALAH DAN PEMECAHAN MASALAH
Suatu masalah biasanya memuat suatu situasi yang mendorong seseorang untuk menyelesaikannya akan tetapi tidak tahu secara langsung apa yang harus dikerjakan untuk menyelesaikannya. Jika suatu masalah diberikan kepada seorang anak  dan anak tersebut langsung tahu cara menyelesaikannya dengan benar, maka soal tersebut  tidak bisa disebut sebagai masalah. Oleh karena itu seseorang harus memiliki banyak pengalaman dalam memecahkan berbagai masalah.
Adanya rasa tertarik untuk menghadapi “Tantangan” dan tumbuhnya kemauan untuk menyelesaikan  tantangan tersebut,merupakan modal utama dalam pemecahan masalah.
Suatu masalah dapat dipandang sebagai “masalah” merupakan hal yang relative. Soal yang dianggap sebagai masalah bagi seseorang, akan tetapi bagi orang lain itu merupakan soal yang rutin belaka. Dengan demikian, guru harus hati-hati dalam menentukan soal yang akan disajikan sebagai pemecahan masalah. Bagi sebagian besar guru, menyusun soal yang benar-benar bukan merupakan masalah rutin bagi siswa mungkin termasuk pekerjaan yang sulit. Akan tetapi ini akan bisa diatasi melalui pengalaman dalam menyajikan soal yang bevariasi baik bentuk, tema masalah, tingkat kesulitan, serta tuntutan kemampuan intelektual yang ingin dicapai dan dikembangkan pada siswa.
Perbedaan antara soal rutin dan soal tidak rutin yaitu:  a.)Soal rutin: mencakup aplikasi suatu prosedur  matematika yang sama atau mirip dengan hal yang baru dipelajari.      b.)Soal tidak rutin: untuk menapai pada prosedur yang benar diperlukan pemikiran yang lebih mendalam.
Hasil yang telah diperolah The National Assessment di Amerika Serikat, mengindikasikan bahwa siswa sekolah dasar pada umumnya menghadapi kesulitan dalam mengerjakan soal tidak rutin yang memerlukan  analisis dan proses berfikir mendalam.
3.      CARA MENGAJARKAN PEMECAHAN MASALAH
Karena pemecahan masalah merupakan kegiatan matematika yang sangat sulit,maka sejumlah besar penelitian telah difokuskan pada pemecahan masalah matematika. Fokus penelitian antara lain mencakup  karakteristik permasalahan, karakteristik dari siswa sukses atau siswa gagal, pembelajaran strategi pemecahan masalah yang mungkin dapat membantu siswa menuju kelompok siswa sukses dalam pemecahan masalah.
Dari berbagai hasil penelitian, antara lain diperoleh beberapa kesimpulan:
ª      Strategi pemecahan masalah dapat secara spesifik diajarkan
ª      Tidak ada satupun strategi yang dapat digunakan  secara tepat untuk setiap masalah yang dihadapi.
ª      Berbagai strategi pemecahan masalah dapat diajarkan pada siswa dengan maksud untuk memberikan mereka pengalaman agarmereka dapat memanfaatkannya pada saat menghadapi berbagai variasi masalah.
ª      Siswa perlu dihadapkan pada berbagai masalah yang tidak dapat diselesaikan secara cepat sehingga memerlukan upaya mencoba berbagai alternative pemecahan.
ª      Kemampuan anak dalam pemecahan masalah sangat berkaitan dengan tingkat perkembangan mereka.
Untuk dapat mengajarkan pemecahan masalah dengan baik  ada beberapa hal yang perlu dipertimbangkan antara lain: waktu, perencanaan, sumber yang diperlukan, peran teknologi, dan manajemen kelas.
1)      Waktu
Waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah sangat reletif. Jika seseorang dihadapkan pada suatu masalah dengan waktu yang diberikan untuk menyelesaikannya tidak dibatasi,maka kecenderungannya orang tersebut tidak akan mengkonsentrasikan fikirannya secara penuh pada proses penyelesaian masalah yang diberikan. Sebaliknya jika seseorang dalam menyelesaikan suatu masalah dibatasi oleh waktu yang sangat ketat, maka seluruh potensi fikirannya mungkin akan dikonsentrasikan secara punuh pada penyelesaian soal tersebut. Beberapa hal yang perlu dikembangkan kaitannya dengan waktu antara lain: waktu untuk memahami masalah, waktu untuk mengeksplorasi lika-liku masalah, dan waktu untuk memikirkan masalah.
2)      Perencanaan
Aktifitas pembelajaran dan waktu yang diperlukan,harus direncanakan serta dikoordinasikan sehingga siswa memiliki kesempatan yang cukup untuk menyelesaikan berbagai masalah, belajar berbagai variasi strategi pemecahan masalah, dan menganalisis serta mendiskusikan pendekatan yang mereka pilih. Dalam menyediakan variasi permasalahan,soal-soal yang dibuat dapat memuat hal berikut ini:
·         Informasi berlebih atau informasi kurang
·         Membuat estimasi
·         Menuntut siswa untuk membuat pilihan tentang derajat akurasi yang diperlukan
·         Memuat aplikasi matematika bersifat praktis.
·         Menuntut siswa untuk mengkonseptualisasikan bilangan-bilangan yang sangat besar atau bilangan yang sangat kecil.
·         Didasarkan atas minat siswa,atau kejadian dalam lingkungan mereka.
·         Memuat logik, penalaran, pengujian konjektur, informasi yang masuk akal.
·         Menuntut penggunaan lebih dari satu strategi untuk mencapai solusi yang benar.
·         Menuntut adanya proses pengambilan keputusan.
3)      Sumber
Buku biasanya lebih banyak memuat masalah yang bersifat rutin, maka guru harus memiliki kemampuan untuk mengembangkan masalah-masalah lainnya sehingga dapat menambah koleksi soal. Salah satu strategi yang dapat digunakan untuk menambah koleksi soal pemecahan masalah antara lain:
v  Kumpulkan soal-soal pemecahan masalah dari koran , majalah, atau buku selain buku paket.
v  Membuat soal sendiri,sesuai ide sendiri.
v  Memanfaatkan situasi yang muncul secara spontan  khususnya yang di dasarkan atas pertanyaan dari siswa.
v  Saling tukar soal dengan sesama teman guru.
v  Mintalah siswa untuk menulis soal yang dapat dipertukarkan di antara mereka.mungkin dari situ ada yang layak untuk dikoleksi.
4)      Teknologi
Walaupun sebagian besar kalangan ada yang tidak setuju kalkulator digunakan untuk proses belajar,akan tetapi dengan membatasi penggunaannya hanya pada hal-hal tertentu,alat tersebut perlu dipertimbangkan penggunaannya.karena kalkulator digunakan untuk membantu mempercepat proses perhitungan rutin maka siswa dapat lebih difokuskan pada kegiatan pemecahan masalah.alasan utamanya adalah bahwa waktu yang biasanya digunakan untuk melakukan perhitungan rutin dapat dialihkan untuk melakukan peningkatan keterampilan lainnya yang levelnya lebih tinggi.
5)      Manajemen kelas
Dalam mengajarkan pemcahan masalah, maka beberapa setting kelas yang mungkin dikembangkan antara lain:
Model klasikal (mengelompokkan siswa pada kelompok kecil, small group cooperative learning).
Model belajar individual atau bekerja sama dengan anak lainya(berdua).
4.      STRATEGI PEMECAHAN MASALAH
Menurut George Polya, dalam pemecahan suatu masalah terdapat 4 langkah yang perlu dilkukan:
1.      Memahami masalah
2.      Merencanakan pemecahannya
3.      Menyelesaikan masalah sesuai rencana langkah kedua
4.      Memeriksa kembali hasl yang diperoleh( looking back)
Strategi masalah yang mungkin diperkenalkan pada anak sekolah dasar:
*      Strategi Act it out
Strategi ini dapat membantu siswa dalam proses visualiasi masalah, dilakukan dengan menggunakan gerakan-gerakan fisik atau dengan menggerakkan benda-benda kongkrit.
*      Membuat gambar atau diagram
Strategi ini dapat membantu siswa untuk mengungkapkan informasi yang terkandung dalam masalah sehingga hubungan antar komponen dalam masalah tersebut dapat terlihat dengan lebih jelas.
*      Manemukan pola
Kegiatan yang berkaitan dengan proses menemukan pola dapat mulai dilakukan melalui sekumpulan gambar atau bilangan.
*      Membuat tabel
Mengorganisasi data kedalam sebuah tabel dapat membantu kita dalam mengungkapkan suatu pola tertentu dalam mengindentifikasi informasi yang tidak lengkap.
*      Memperhatikan semua kemungkinan secara sistematik
Strategi ini biasanya digunakan  bersamaan dangan strategi mencari pola dan menggambar tabel.
*      Tebak dan periksa (Guess and Check)
Strategi menebak yang dimaksudkan disini adalah menebak yang didasarkan pada alasan tertentu serta kehati-hatian.
*      Strategi kerja mudur
Suatu masalah kadang-kadang disajikan dalam suatu cara sehingga yng diketahui itu meruakan suatu hasil dari proses tertentu.
*      Menentukan yang diketahui,yang ditanyakan,dan informasi yang diperlukan
*      Menggunakan kalimat terbuka
Walaupun strategi ini termasuk sering digunakan. akan tetapi pada langkah awal sering sekali mendapat kesulitan untuk menentukan kalimat terbuka yang sesuai. Untuk sampai pada kalimat yang dicari, seringkali harus melalui penggunaan strategi lain.
*      Menyelesaikan masalah yang mirip atau masalah yang lebih mudah
Sebuah soal adakalanya sangat sulit untuk diselesikan karena didalamya terkandung permasalahan yang cukup kompleks misalnya menyangkut masalah yang sangat besar , bilangan yang sangat kecil, atau berkaitan dengan pola yang cukup kompleks.
*      Mengubah sudut pandang
Strategi ini sering digunakan  setelah kita gagal untuk menyelesaikan masalah dengan menggunakan strategi lainnya.
5.               PENTINGNYA PEMERIKSAAN KEMBALI HASIL (Looking Back)
Hasil penelitian menunjukkan bahwa dikusi dan mempertimbangkan kembali proses penyelesaian yang telah dibuat meruakan faktor yang sanga signifikan untuk meningkatkan kemampuan anak dalam pemecahan masalah.
Hal-hal penting yang bisa dikembangkan dalam langkah terakhir dari strategi Polya dalam pemecahan masalah yaitu:Mencari kemungkinan adanya generalisasi, melakukan pengecekan terhadap hasil yang diperoleh, mencari cara lain untuk menyelesaikan masalah yang sama, mencari kemungkinan adanya penyelesaian lain, dan menelaah kembali proses penyelesaian masalah yang telah dibuat.
6.      METAKOGNISI
Metakognisi adalah suatu kata yang berkaitan dengan apa yang kita ketahui tentang dirinya sebagai individu yang belajar dan bagaimana dia mengontrol serta menyesuaikan perilakunya. Ini adalah suatu bentuk kemampuan untuk melihat pada diri sendiri sehinga apa yang kita lakukan dapat terkontrol secara optimal.
Beberapa hal yang dapat dilakukan seorang guru untuk menolong anak mengembangkan kesadaran metakognisinya antara lain melalui kegiatan-kegiatan berikut ini:
·         Ajukan pertanyaan yang berfokus pada Apa dan Mengapa
·                   Kembangkan berbagai aspek pemecahan masalah yang dapat meningkatkan prestasi anak.
·                   Dalam proses pemecahan suatu masalahanak harus secara nyata melakukannya secara mandiri atau berkelompok sehingga mereka merasakan langsung liku-liku proses untuk menuju pada suatu penyelesaian.
7.                  CONTOH  PENERAPAN STRATEGI PENYELESAIAN MENURUT  POLYA
Susunlah  bilangan-bilangan 1 sampi 9 kedalam tiap daerah persegi pada gambar di bawah ini sehingga jumlah tiap baris, kolom, dan diagonal utamanya adalah sama.






Tidak ada komentar:

Poskan Komentar